vendredi 21 mars 2008

BA-C.H

21/3/8 à 21:38 - Belle occasion d'évoquer la question B-A-C-H = 2-1-3-8, d'autant que c'est aujourd'hui le 323e anniversaire de la naissance de JS Bach, né le 21 mars 1685.
La plupart des musicologues admettent aujourd'hui que Bach était obsédé, au moins vers la fin de sa vie, par le nombre 14, somme des rangs des lettres de son nom, lettres qui sont aussi des notes selon la notation musicale allemande. L'argument le plus cité est que le testament musical de Bach, l’Art de la Fugue, s'achève sur un Contrepoint 14 où Bach donne pour la première fois un thème débutant par les notes b-a-c-h, magnifié par un mystère : la fin de cette splendide fugue ne nous est pas parvenue, portant certains exégètes à imaginer que Bach ait délibérément laissé cette fugue inachevée.
Mes propres recherches m'ont fait découvrir des harmonies numériques si prodigieuses que je me garde de les interpréter. Je comptais donner dans ce billet quelques liens vers mes pages les plus marquantes, et puis je me suis avisé en relisant cette page d'un développement si magnifique qu'il m'a semblé s'imposer de le détailler ici.
Je ne suis pas le seul à avoir vu des harmonies d’or chez Bach, ainsi, outre des centaines d'articles, un livre entier y est consacré, thèse d'un musicologue validée par ses pairs. Mon champ d'action privilégié a été les deux volumes du Clavier bien tempéré, donnant chacun 24 ensembles Prélude-Fugue dans les 24 tonalités musicales, soit 96 pièces individuelles et autant de nombres de mesures associés.
Je donne sur la page précitée le détail de ces 96 nombres, mais voici ce qui correspond à ma récente découverte, portant sur les 24 totaux correspondant à chaque tonalité, les deux volumes réunis. Une même opération effectuée sur ces 24 nombres (la détermination du plus proche entier selon la section dorée) permet de découvrir 4 relations dorées idéales, concernant 8 tonalités.
(pour mieux suivre l'analyse, on peut afficher ce tableau en plus grand à part en cliquant dessus, touche Maj (Shift) enfoncée)
Les relations dorées sont indiquées en bleu/rouge, avec les 4 relations de départ en colonne de droite.
J'ai séparé les trois premières relations parce qu'elles concernent les 3 tonalités totalisant le plus grand nombre de mesures (289-287-283), tandis que la dernière relation concerne la plus faible tonalité (125 mesures). S'il est a priori normal que des relations d'or dans un ensemble de nombres tirés au hasard concernent préférentiellement les nombres les plus forts ou les plus faibles, il est peu probable que l'ensemble des relations rencontrées obéisse strictement à ce schéma.
Il est particulièrement frappant ici que la relation la plus "lourde" concerne les première et dernière tonalités, soit C et h, selon l'écriture allemande pour Do Majeur et si mineur, et la plus légère les seconde et avant-dernière, soit c et H, ou do mineur et Si Majeur.
Les tonalités CcHh donc, et une des deux autres relations concerne les tonalités ba, soit baCcHh, ou baCh en ne considérant que les relations lourdes.
L'autre relation lourde concerne cis-fis, do dièse mineur et fa dièse mineur. On peut trouver plus de sens à leurs numéros d'ordre, 4 et 14 : le nom BACH est un nom de 4 lettres de somme 14, ce que pourraient traduire les 3 relations lourdes, baCh (=) 14 / 4.
A l'intérieur des tonalités 4 et 14, les nombres de mesures des pièces individuelles sont deux à deux en rapport d'or. Prélude avec fugue pour fis, prélude avec prélude et fugue avec fugue pour cis. Ce sont les deux seules tonalités offrant cette harmonie interne, magnifiée par l'harmonie unissant ces deux tonalités.
Divers groupements sont possibles, le plus remarquable est de considérer les 3 relations lourdes, avec d'un côté les poids forts 289-287-283 totalisant 859 mesures, de l'autre les poids faibles 179-177-175 totalisant 531 mesures.
Il n'est pas obligatoire que le couplage de plusieurs relations d'or entre entiers donne une relation d'or parfaite, c'est le cas pour 859/531, mais il y a bien mieux.
La différence entre 859 et 531 est 328, qui correspond au dernier couple, réparti en 203-125. Ainsi les nombres des relations lourdes couplées et de la relation légère appartiennent à la même série additive de type Fibonacci :
125-203-328 d'une part, se poursuivant par
531-859-1390, ce qui permet de multiples combinaisons dorées.
Il y a peut-être plus beau encore. Les relations d'or internes aux tonalités cis-fis incitent à étudier plus avant dans cette voie, et, parmi diverses possibilités, j'ai retenu ceci:
Parmi les 3 relations lourdes, additionner les 6 préludes de poids fort et les 6 fugues de poids fort (décalés vers la gauche sur le tableau), ce qui mène aux nombres
321 et 538
puis idem pour les préludes et fugues de poids faible, donnant les nombres
196 et 335
Sans surprise, les additions mènent aux résultats déjà connus
321 + 538 = 859 et 196 + 335 = 531
mais les différences permettent encore de retrouver, totalement indépendamment, les nombres de la relation légère
321 – 196 = 125 et 538 – 335 = 203

Il y aurait d'autres possibilités plus ou moins raisonnables à noter, mais je préfère finir sur quelque chose de franchement impertinent, relativisant toute rationalisation de la numérologie bachienne. Nous avons ici une quine 125-203-328-531-859, avec ce nombre 859 représentant également la moyenne entre les 1390 et 328 mesures des différentes relations, or 859 est encore le numéro BWV de l'ensemble prélude-fugue 14 du premier volume, selon une classification du 19e postérieure à la mort de Bach.
La relation qui vient d'être vue sur les différences est liée au même écart, par rapport aux partages d'or idéaux de 859 (328-531) et 531 (203-328), des sommes correspondant aux préludes-fugues de poids fort et faible. L'idéal aurait été de retrouver horizontalement l'harmonie vue verticalement (écart 0), mais l'écart 7 observé se prête aussi à commentaires puisque :
- les fugues totalisent 14 mesures de plus que l'idéal 859 (et l'ensemble 14 du premier volume est toujours BWV 859);
- les préludes totalisent 14 mesures de moins que l'idéal 531, faisant apparaître pour les poids faibles le nombre 196, carré de 14.

Je renvoie à mon site pour de multiples autres investigations numériques chez Bach. On y trouve aussi cette page qui explore les "polars bachiens", à partir de cette collision des couvertures de livres des auteurs BA et CH parus en 2000, 250e anniversaire de la mort de Bach qui a donné lieu à de multiples manifestations plus offcielles.


ABSTRACT
There are 4 perfect golden harmonies among the totals of bars for each key in the Well Tempered Clavier, both volumes joined. See matrix upwards.
3 of these harmonies concern the 3 strongest numbers of bars, the last one the lightest.
The 6 keys concerned by the strong relations are b-a-C-h, and cis-fis more signifying by their ranks, 4 and 14. The ranks of BACH's 4 letters name add up to 14.
Within each of these keys 4-14, the 4 numbers of bars for each individual piece are 2 by 2 in golden harmony, these are the only cases among all 24 keys.
The 3 strong bar-numbers (289-287-283) add up to 859, while their relatives 179-177-175 make 531, quite near the calculated golden ratio of 859 (530.9).
The light harmony is again between Bach keys, H-c. A Fibonacci type sequence built on their numbers gives:
125-203-328-531-859-1390...
531-859-1390 are the numbers of the joined 3 strong relations.
The surprises are not over. The individual harmonies within keys 4-14 suggest a closer study, and I found that:
Within the 3 strong relations, adding up together strong preludes, strong fugues, weak preludes, and weak fugues, gives 4 numbers 321-538-196-335.
We already know that additions
321 + 538 and 196 + 335 lead to 531-859-(1390)
but substracting weak preludes and fugues from strong ones
321 – 196 and 538 – 335 leads again to 125-203-(328), the numbers of the light harmony.

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